Nachdem wir im letzten Video die Basis für die Integration nochmal wiederholt haben und uns auch

Ableitungsregeln wieder angeschaut haben, wollen wir jetzt die erste Integrationsrechenregel uns

nochmal anschauen, die Sie aus dem letzten Semester kennen, nämlich die partielle Integration. Die

lässt sich hier leiten aus der Produktregel für Ableitung. Das heißt, in diesem Video behandeln

wir kurz die partielle Integration. Und wir fangen direkt an, wie so eine partielle Integration

aussieht. Wie gesagt, die lässt sich aus der Produktregel, die wir uns schon angeschaut haben,

herleiten. Das haben Sie im letzten Semester gemacht. Das heißt, wir können direkt anfangen

mit der partiellen Integration. Wie sieht das Ganze aus? Wir nehmen zwei stetig differenzierbare

Funktionen, f und g, die wieder auf einem Intervall a, b leben und in die reellen Zahlen abbilden.

Stetig diffbare Funktion. Und dann gilt folgende Rechenregel.

Folgende Rechenregel für partielle Integration. Und wir werden in einer Minute auch noch kurz sehen,

wo das herkommt. Und zwar können wir folgenden Ausdruck uns anschauen. Wenn ich ein Integral

berechnen möchte zwischen den Integrationsgrenzen a und b von einem Produkt zweier Funktionen,

das eine ist die Funktion f von x, multipliziert mit der Ableitung g Strich von x dx, dann kann

ich das Ganze machen, indem ich die Ableitung von g hoch integriere und das Produkt direkt auswerte.

Das heißt, ich schaue mir an den Term f mal g ausgewertet an den Integrationsgrenzen b und a.

Minus, und das ist jetzt wichtig, dass man das Vorzeichen hier richtig behält, einem anderen

Integral von a bis b. Und dann hat man sozusagen diese Ableitung rüber geworfen auf die Funktion f

und berechnet dann ein f Strich von x mal g von x dx. Also die partielle Integration erlaubt es uns

sozusagen eine Ableitung von einer Funktion rüber zu werfen auf die andere Funktion und eventuell ist

es dann einfacher zu integrieren. Das hängt immer von der Situation ab. Ein typischer Trick ist es,

wenn man eine Funktion hat, die kompliziert ist, dass man diese Funktion g Strich von x als 1 wählt

und dann hat man sozusagen die Funktion g von x ist x. Und das ist ein gängiger Trick, mit der man

mit der partiellen Integration arbeiten kann. Und wir werden das auch im Folgenden einmal anwenden.

Die formal korrekte Herleitung dieser partiellen Integration finden Sie auch im Skript aus dem

letzten Semester. Die werde ich nicht wiederholen, aber ich werde eine Bemerkung machen, wo nochmal

diese Idee ein bisschen angedeutet ist, nämlich wenn es darum geht eine Stammfunktion zu bestimmen.

Dann kann man die partielle Integration auch einsetzen. Also machen folgende Bemerkung.

Um die Stammfunktion f einer Funktion f, also F einer Funktion, klein f mit folgendem Zusammenhang

einer Stammfunktion, der ist klar aus der Definition f Strich von x muss f von x sein, zu bestimmen,

betrachten wir ein unbestimmtes Integral ohne die Integrationsgrenzen.

Bestimmt das Integral der folgenden Form. Das heißt, wir wollen wissen, was ist denn

analytisch die Stammfunktion der Funktion f von x. Und dazu schreiben wir einfach nur eine

Integral ohne Integrationsgrenzen. Wir haben im letzten Video schon angedeutet, dass diese etwas

unpräzise Notation gängig ist bei der Findung von Stammfunktionen. Jetzt können wir die Produktregel

der Differenziation nämlich anwenden und sagen, falls f die Form eines Produktes hat, können wir

folgendes sehen. Mittels der Produktregel für Differenziation können wir eine Stammfunktion

der Form eines Produktes bestimmen. Stammfunktion der Form. Wie soll die aussehen? Wir sagen f von

x ist definiert als f mal g von x. Also das Produkt zweier Funktion. Können wir die folgt

bestimmen in dieser etwas unpräzisen Notation? Wir können jetzt also hinschreiben, wir wollen

wissen, was ist die Stammfunktion f von x. Da setzen wir erstmal ein. Wir wissen, es handelt

sich um ein Produkt zweier Funktion. Also f mal g ausgewertet an der Stelle x. Da können wir jetzt,

da wir wissen, dass es sich um eine Stammfunktion handelt, ableiten. Das heißt, wir müssten uns

eigentlich nur denken, der Integrant müsste die Ableitung von dieser Stammfunktion sein. Ich mach

das hier nochmal weg. Das sieht wie folgt aus. Wir schreiben also das unbestimmte Integral, wenden

die Produktregel an. Das ist also f Strich mal g plus f mal g Strich ausgewertet an der Stelle x dx.

Das ist nichts anderes wie die Produktregel. Das heißt, da schreiben wir vielleicht auch nochmal dran.

Das ganze können wir jetzt auseinander ziehen wegen der Linearität des Integrals. Das ist also ein

Integral über f Strich von x, g von x dx plus ein Integral f von x, g Strich von x dx. Und im Endeffekt

sehen Sie, steht da jetzt auch schon die partielle Integration, denn ich kann jetzt einfach eine der